现代量子力学笔记(二): 意念具象化?数学和符号!

Jason Eu

Created: 2018/12/19

Modified: 2018/12/19

该部分笔记与Sakurai现代量子力学(1.2-1.3)对应

工具和规则(KETS, BRAS, and OPERATORS)

下面介绍的数学工具恰好能够描述量子世界的行为,因此得以引入.

KETS

量子力学中的一个物理状态,可以表示为复杂向量空间中的一个状态向量(state vector),用Dirac的语言, 这一个状态向量称为ket,表示为∣α⟩. 若向量空间为无穷维,则是一个 Hilbert space.

ket有一下计算规则:

可相加 $$|\alpha \rangle + |\beta \rangle = |\gamma \rangle$$ 可以乘上一个复数表示另一个ket,复数乘在ket的左右两边表示相同ket: $$c|\alpha \rangle = |\alpha \rangle c$$ c为零时,得到一个 null ket.

量子力学中的一次观测,可以用一个算符表示.算符可以从左边作用在一个ket上: $$A \cdot (|\alpha \rangle) = A|\alpha \rangle$$$A$来说有一系列重要的ket, $|a^{'}\rangle , |a^{''}\rangle , |a^{'''}\rangle \cdots$,有以下性质: $$A|a^{'}\rangle=a^{'}|a^{'}\rangle , A|a^{''}\rangle =a^{''}|a^{''}\rangle , \cdots$$ 这一系列$\{a', a'', a''', ⋯\}$是常数,被称作本征值,对应的ket叫做本征向量.

使用这些本征向量,任意一个状态$|α⟩$可以表示为: $$|α⟩=\sum_{a'}c_{a'}|a'⟩$$

BRAS

bra空间中的braket一一对应.有如下的对应关系: $$c|α⟩=c^{*}⟨α|.$$ braket相乘(内积)$⟨β|α⟩$通常来说是一个复数.

内积有如下关系: $$⟨β|α⟩=⟨α|β⟩^{*}.$$ $$⟨α|α⟩≥0.$$ 这一公设是量子力学概率描述的重点.

两个ket $|α⟩,|β⟩$正交,有如下内积关系: $$⟨α|β⟩=0$$

一个状态$|α⟩$的归一化可以写为: $$|\tilde{a}⟩=\left( \frac{1}{\sqrt{⟨α|α⟩}} \right) |α⟩$$

OPERATORS

如前所述,量子力学中的一次观测,可以用一个算符表示,作用在一个ket上得到该状态的观测量.

算符满足加法的交换律和结合律: $$X+Y=Y+X$$ $$X+(Y+Z)=(X+Y)+Z$$ 除了少数算符如时间反演算符,大多数算符是线性的,满足分配律: $$X(c_{α}|α⟩+c_{β}|β⟩)=c_{α}X|α⟩+c_{β}X|β⟩$$

算符作用在bra上写在bra的右边,$⟨α|X$. 算符作用后的ketbra有如下对应关系: $$X|α⟩↔⟨α|X^{†}$$ 其中$X^{†}$$X$的厄米共扼(Hermitian adjoint). 如果一个算符满足下面关系,我们称其为厄米的(Hermitian): $$X=X^{†}$$

算符的乘法满足结合律但不一定满足交换律,满足交换律的两个算符,我们称为它们是对易的.

算符和bra以及ket的作用也是满足结合律的: $$X(Y|α⟩)=(XY)|α⟩=XY|α⟩,\quad (⟨β|X)Y=⟨β|(XY)=⟨β|XY.$$

算符相乘后取共轭展开为(应用结合律和共扼的定义可以得到): $$(XY)^{†}=Y^{†}X^{†}.$$

ketbra的外积(outer product):$|β⟩⟨α|$可以看作是一个算符.

除了以列出的:$⟨β|α⟩,X|α⟩,⟨α|X,\mathrm{and}\ XY, \mathrm{and}\ |β⟩⟨α|$. 其余的乘法都是非法的不可操作的.

运算法则

associative axiom of multiplication:

$$(|β⟩⟨α|)⋅|γ⟩=|β⟩⋅(⟨α|γ⟩)$$ 其中$⟨α|γ⟩$是一个数字,我们可以理解为,算符$|β⟩⟨α|$$|γ⟩$变换到$|β⟩$方向.

$$⟨β|X|α⟩=⟨α|X^{†}|β⟩^{*}$$ 若算符$X$是厄米的,则: $$⟨β|X|α⟩=⟨α|X|β⟩^{*}$$

工具和用法

一个现实世界的可观测量对应一个厄米算符,厄米算符有这样的性质:

  1. 厄米算符的本征值是实数.
  2. 一个厄米算符的两个不同本征值对应的本征向量(函数)是正交的.

$$A|a'⟩=a'|a'⟩$$ $$⟨a''|A=a''^{*}⟨a''|$$ 在可得: $$(a'-a''^{*})⟨a''|a'⟩=0$$ 分析可得: $$a'=a'^{*}\quad ⃞ $$$$⟨a''|a'⟩=δ_{a''a'}\quad ⃞ $$

厄米算符的一套本征向量完备正交,可以作为一组基矢.任意一个波函数可以表示为这些基矢的线性组合. $$|α⟩=\sum_{a'}|a'⟩⟨a'|α⟩=\sum_{a'}(⟨a'|α⟩)|a'⟩=\sum_{a'}c_{a'}|α⟩,$$ $$c_{a'}=⟨a'|α⟩$$

从上可以得到一个十分有用的式子: $$\sum_{a'}|a'⟩⟨a'|=1,$$

这个式子被称作一个 closure完备性关系,可被用于当作单位矩阵或算符插入任意的公式中.

投影算符$Λ_{a'}$

$$Λ_{a'}≡|a'⟩⟨a'|.$$ 根据完备性可得,投影对所有基矢的和为1: $$\sum_{a'}Λ_{a'}=1.$$

矩阵表示

矩阵的运算恰好满足了上面的各种特征(线性加和).所以用矩阵和矩阵的操作可以合适的表示算符,ket,bra等概念. 写为矩阵形式,则没一个本征值的意义明显.

算符$X$表示为: $$X≐\begin{pmatrix} ⟨a^{(1)}|X|a^{(1)}⟩ & ⟨a^{(1)}|X|a^{(2)}⟩ & \cdots \\ ⟨a^{(2)}|X|a^{(1)}⟩ & ⟨a^{(2)}|X|a^{(2)}⟩ & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix},$$

ketbra分别表示为特定基失的列向量和行向量.

算符可以用其自身的ket表示为: $$A=\sum_{a'}a'|a'⟩⟨a'|=\sum_{a'}a'Λ_{a'}.$$

$\leftarrow$现代量子力学笔记(一)$\mapsto$现代量子力学笔记(三)