现代量子力学笔记(三): 抽象到具体---真实的量子世界

Jason Eu

Created: 2018/12/21

Modified: 2018/12/21

该部分笔记与Sakurai现代量子力学(1.4)对应

测量

Dirac 1985, p.36

"A measurement always causes the system to jump into
an eigenstate of the dynamical variable that is being
measured."

在测量之前,体系被认为处于一个混合的状态$|α⟩$ $$|α⟩=\sum_{a'}c_{a'}α⟩=\sum_{a'}|a'⟩⟨a'|α⟩$$ 测量使该混合态”塌缩”至任意一个可观测的态.

量子力学概率解释的一个公设为:我们不能在测量之前知道这个测量得到系统的具体状态, 我们只能知道系统跳到某一个状态的概率. $$\mathrm{Probability \ for \ a'=|⟨a'|α⟩|^2}$$

对于状态$|α⟩$,其对与算符A的期望为$⟨A⟩$$⟨A⟩_α$,写为: $$⟨A⟩≡⟨α|A|α⟩=\sum_{a'}\sum_{a''}⟨α|a''⟩⟨a''|A|a'⟩⟨a'|α⟩=\sum_{a'}a'|⟨a'|α⟩|^2$$ 上式最右边一项直观的可理解为测量直的加权平均.

对易非对易

定义: $$[A,B]≡AB-BA$$ $[A,B]=0,$则称算符A,B对易,$[A,B]\neq 0$称算符A,B非对易.

对易(Compatible)

A,B对易,则矩阵元$⟨a''|B|a'⟩$为对角矩阵.: $$⟨a''|B|a'⟩=δ_{a'a''}⟨a'|B|a'⟩.$$ 算符B写为: $$B=\sum_{a''}|a''⟩⟨a''|B|a''⟩⟨a''|.$$ B算符作用在A的其中一个本征向量$|a'⟩$上: $$B|a'⟩=\sum_{a''}|a''⟩⟨a''|B|a''⟩⟨a''|a'⟩=(⟨a'|B|a'⟩)|a'⟩$$ 说明A,和B有着相同的本征向量$|a'⟩$, $$b'=⟨a'|B|a'⟩$$

A,B的测量不会互相破坏信息(do not interfere),如下: $$|α⟩\xrightarrow{\text{A measure}}|a',b'⟩\xrightarrow{\text{B measure}}|a',b'⟩\xrightarrow{\text{A measure}}|a',b'⟩.$$

非对易(Incompatible)

若算符A,B非对易,则A,和B不会拥有相同的 完备的 本征向量,这里强调 完备的,是因为 非对易的A,B可能在子空间拥有相同的本征向量.

另一个反直觉的实验

测不准关系(The Uncertainty Relation)

定义算符$ΔA≡A-⟨A⟩$,该算符的平方$(ΔA)^2$描述了算符A的dispersion: $$⟨(ΔA)^2⟩=⟨(A^2-2A⟨A⟩+⟨A⟩^2)⟩=⟨A^2⟩-⟨A⟩^2$$

测不准原理: $$⟨(ΔA)^2⟩⟨(ΔB)^2⟩≥\frac{1}{4}|⟨[A,B]⟩|^2.$$

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