现代量子力学笔记(四): OVA1表象变换

Jason Eu

Created: 2018/12/24

Modified: 2018/12/24

该部分笔记与Sakurai现代量子力学(1.5)对应

算符

这里,我们希望得到两个非对易算符的两组本征向量之间的关系. 若A,B的本征向量是正交且对易的,则存在一个幺正算符(unitary operator)满足下列关系. $$|b^{(1)}⟩=U|a^{(1)}⟩,|b^{(2)}⟩=U|a^{(2)}⟩,\dotsc,|b^{(N)}⟩=U|a^{(N)}⟩$$ unitary算符: $$U^†U=UU^†=1$$

$U=\sum_k|b^{(k)}⟩⟨a^{(k)}|$可证明.

矩阵表示

$$⟨a^{(k)}|U|a^{(l)}⟩=⟨a^{(k)}|b^{(l)}⟩$$ 因此U的矩阵元表示为新旧两个向量的inner product.

向量的变换: $$⟨b^{(k)}|α⟩=\sum_l⟨a^{(k)}|U^†|a^{(l)}⟩⟨a^{(l)}|α⟩.$$ 也就是: $$(\mathrm{New})=(U^†)(\mathrm{old}).$$

算符的变换: $$⟨b^{(k)}|X|b^{(l)}⟩=\sum_m\sum_n⟨a^{(k)}|U^†|a^{(m)}⟩⟨a^{(m)}|X|a^{(n)}⟩⟨a^{(n)}|U|a^{(l)}⟩.$$

与矩阵的运算方法相同: $$X'=U^†XU$$

不同表象下,同一算符的迹(trace)是相同的(从上述变换可得): $$\sum_{a'}⟨a'|X|a'⟩=\sum_{b'}⟨b'|X|b'⟩$$

对角化

已知一个算符在$\{|a'⟩\}$基矢下的矩阵表示,如何知道其在$\{|b'⟩\}$下的表示?

既要求: $$B|b'⟩=b'|b'⟩$$ 写为: $$\sum_{a'}⟨a''|B|a'⟩⟨a'|b'⟩=b'⟨a''|b'⟩$$

对角化矩阵B可以得到N个本征值$λ$对应$b^{(l)}$ ,知道$b^{(l)}$后,unitary 矩阵可以写为$C_k^{(l)}=⟨a^{(k)}|b^{(l)}⟩.$

Unitary Equivalent Observables (互相幺正的算符)

对一个算符,我们可以构造一个相互幺正的算符$UAU^{-1}$. 该算符与原算符有这样关系,对应各自的本征向量,他们有相同的本征值.

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