现代量子力学笔记(五): 连续谱-位置和向量空间的波函数

Jason Eu

Created: 2018/12/25

Modified: 2018/12/25

该部分笔记与Sakurai现代量子力学(1.6, 1.7)对应

从离散到连续

大多数离散表达,可以直接对应出相应的连续的表示. $$ξ|ξ'⟩=ξ'|ξ'⟩,$$ $$⟨a'|a''⟩=δ_{a'a''}→⟨ξ'|ξ''⟩=δ(ξ'-ξ''),$$ $$\sum_{a'}|a'⟩⟨a'|=1→∫dξ'|ξ'⟩⟨ξ'|=1,$$ $$|α⟩=\sum_{a'}|a'⟩⟨a'|α⟩→|α⟩=∫dξ'|ξ'⟩⟨ξ'|α⟩,$$ $$\sum_{a'}|⟨a'|α⟩|^2=1→∫dξ'|⟨ξ'|α⟩|^2=1,$$ $$⟨β|α⟩=\sum_{a'}⟨β|a'⟩⟨a'|α⟩→⟨β|α⟩=∫dξ'⟨β|ξ'⟩⟨ξ'|α⟩,$$ $$⟨a''|A|a'⟩=a'δ_{a'a''}→⟨ξ''|ξ|ξ'⟩=ξ'δ(ξ''-ξ').$$ 同样,一个测量可以使得系统落入一个确定的态.

位移和动量

定义最小位移算符$τ(d\mathbf{x}')$如下: $$τ(d\mathbf{x}')|\mathbf{x}'⟩=|\mathbf{x}'+d\mathbf{x}'⟩,$$ 该算符有下列性质: $$τ^†(d\mathbf{x}')τ(d\mathbf{x}')=1$$ $$τ(d\mathbf{x}'')τ(d\mathbf{x}')=τ(d\mathbf{x}'+d\mathbf{x}'')$$ $$τ(-d\mathbf{x}')=τ^{-1}(d\mathbf{x}')$$ 当位移为无穷小时,算符为零: $$\lim_{d\mathbf{x}'→0}τ(d\mathbf{x}')=1$$ 因此,可以将其写为: $$τ(d\mathbf{x}')=1-i\mathbf{K}⋅d\mathbf{x}'$$ 则满足上面各种特性.

从上式可以认为,$\mathbf{K}$是最小位移的生成原因,这和经典力学中的动量相似. 因此: $$τ(d\mathbf{x}')=1-i\mathbf{p}⋅d\mathbf{x}'/ħ,$$ $$[x_i,p_j]=iħδ_{ij}.$$

有限的位移$Δx'$可认为由无穷多个最小位移组成,因此算符$τ(Δx'\mathbf{\hat{x}})$可以直接作用在系统的一个位置状态上: $$τ(Δx'\mathbf{\hat{x}})|x'⟩=|x'+Δx'\mathbf{\hat{x}}⟩.$$ $$τ(Δx\mathbf{\hat{x}})=\lim_{N→∞}\left(1-\frac{ip_x Δx'}{Nħ} \right) ^N=\exp\left(-\frac{ip_x Δx'}{ħ} \right)$$

$τ(Δx'\mathbf{\hat{x}})$$x,y,z$三个方向互相对易,由此可以得动量$p$的对易关系: $$[p_i,p_j]=0.$$

对易关系

位移和动量的对易关系: $$[x_i,x_j]=0,\quad [p_i,p_j]=0,\quad [x_i,p_j]=iħδ_{ij}.$$

位移空间的波函数

任一个状态的展开时的展开系数为$⟨x'|α⟩$,在$dx'$范围中状态的概率为$|⟨x'|α⟩|^2dx'$, 因此该系数可以认为是一个波函数: $$⟨x'|α⟩=ψ_α(x').$$ 两个态的内积为: $$⟨β|α⟩=∫dx'ψ_β^*(x')ψ_α(x').$$ 因此$⟨β|α⟩$表示了两个波函数的叠加.也可以认为是在态$|β⟩$中找到态$|α⟩$的可能性大小.

本征波函数

由于下列关系,我们可以定义本征波函数: $$u_{a'}(x')=⟨x'|a'⟩.$$

因为: $$ψ_α(x')=⟨x'|α⟩=\sum_{a'}⟨a'|α⟩⟨x'|a'⟩=\sum_{a'}c_{a'}u_{a'}(x')$$

位移空间($x$-basis)中的动量算符

动量算符作用在任意状态$|α⟩$上: $$p|α⟩=∫dx'|x'⟩\left(-iħ\frac{∂}{∂x'}⟨x'|α⟩ \right)$$ 即: $$⟨x'|p|α⟩=-iħ\frac{∂}{∂x'}⟨x'|α⟩,$$

此时可以由上得到: $$⟨x'|p|x''⟩=-iħ\frac{∂}{∂x'}δ(x'-x''),$$ $$⟨β|p|α⟩=∫dx'ψ_β^*(x')\left( -iħ\frac{∂}{∂x'}\right)ψ_α(x').$$

动量空间($p$-basis)的波函数

可以定义动量空间波函数为: $$ϕ_α(p')=⟨p'|α⟩.$$

波函数有下列特征: $$⟨x'|p'⟩=N\exp \left(\frac{ip'x'}{\hbar} \right)$$ 这描述了在$x'$中找到动量本征态$p'$的概率.

使用归一化条件,则: $$N=\frac{1}{\sqrt{2πħ}}$$

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