现代量子力学笔记(六): 时间演化和Shrödinger方程

Jason Eu

Created: 2018/12/26

Modified: 2018/12/26

该部分笔记与Sakurai现代量子力学(2.1)对应

时间演化算符

首先要明确的是,时间在量子力学中是作为一个参数(parameter)出现的,而不是一个算符(operator). 因此,时间不是一个观测量(observable).

我们用时间演化算符$\mathcal{U}(t,t_0)$来描述状态随时间的变化. $$|α,t_0;t⟩=\mathcal{U}|α,t_0⟩.$$

由于一个状态在不同时间都要满足归一化,所以$\mathcal{U}$是幺正的(unitary). $$\mathcal{U}(t,t_0)^†\mathcal{U}(t,t_0)=1$$

根据时间的特性,时间演化算符应该是可连续结合的(composition property): $$\mathcal{U}(t_2,t_0)=\mathcal{U}(t_2,t_1)\mathcal{U}(t_1,t_0),\quad (t_2>t_1>t_0).$$

考虑无穷小的时间演化: $$\lim_{dt→0}\mathcal{U}(t_0+dt,t_0)=1.$$

根据以上关系,可以找到下面关系满足时间演化算符的上述特性: $$\mathcal{U}(t_0+dt,t_0)=1-iΩdt,$$ 其中$Ω$是厄米的: $$Ω^†=Ω.$$

那么$Ω$有什么物理意义呢?首先,它有频率量纲,其次对比经典力学中Hamiltonian是时间演化的起因, 通过$E=ħω$可以认为: $$Ω=\frac{H}{ħ}$$ 因此: $$\mathcal{U}(t_0+dt,t_0)=1-\frac{iHdt}{ħ}.$$

Shrödinger方程

根据上式可写微分方程: $$\mathcal{U}(t+dt,t_0)=\mathcal{U}(t+dt,t)\mathcal{U}(t,t_0)=\left(1-\frac{iHdt}{ħ} \right)\mathcal{U}(t,t_0),$$ 可得: $$iħ\frac{∂}{∂t}\mathcal{U}(t,t_0)=H\mathcal{U}(t,t_0).$$ 这就是时间算符对应的Schödinger方程.

将算符作用在态$|α,t_0⟩$上: $$iħ\frac{∂}{∂t}|α,t_0;t⟩=H|α,t_0;t⟩.$$ 是体系状态的Schrödinger方程.

只要得到求解得到时间演化算符的具体表达,则只要知道初态,就能用时间演化算符得到后续各态. 微分方程的求解有下列三种情况:

第一种情况对应的解的形式为: $$\mathcal{U}(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{ħ} \right].$$

第二种情况对应的解的形式为: $$\mathcal{U}(t,t_0)=\exp\left[-\frac{-i}{ħ}∫_{t_0}^t dt'H(t') \right].$$

第三种情况对应的解的形式为: $$\mathcal{U}(t,t_0)=1+\sum_{n=1}^∞ \left(\frac{-i}{ħ}\right)^n ∫_{t_0}^t dt_1∫_{t_0}^{t_1} dt_2\cdots∫_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n). $$ 又叫做 Dyson series

能量本征值

有算符A与H对易,$[A,H]=0$,则: $$|α,t_0=0;t⟩=\sum_{a'}|a'⟩⟨a'|α⟩\exp\left(\frac{-iE_{a'}t}{ħ} \right).$$

上式说明随着时间的流逝,一个体系的状态总是可以写成原始的本征态的叠加,叠加的系数只是一个相位上的改变.

期望随时间演化

现在考虑某算符B的期望值$⟨B⟩$随时间的演化情况,分为两种可能:

  1. 初始态是某个算符A的本征态(定态(stationary state))
  2. 初始态是某个算符A的本征态的叠加(非定态(nonstationary state))

在这里,B和A无需是对易的.

对于情况(1): $$⟨B⟩=⟨a'|B|a'⟩,$$

对于情况(2): $$⟨B⟩=\sum_{a'}\sum_{a''}c^{*}_{a'}c_{a''}⟨a'|B|a''⟩\exp{} \left(\frac{-i(E_{a''}-E_{a'})t}{ħ} \right)$$ $$ω_{a''a'}=\frac{(E_{a''}-E_{a'})}{ħ}.$$

自旋进动

设有体系在算符$S_z$的作用下随时间演化. 初始态为:$S_z$本征态的叠加: $$|ψ_0⟩ = |0⟩ + |1⟩ = |↓⟩ + |↑⟩.$$ 则体系对于算符$S_x,S_y$的期望分别如下所示. spin-precession

Correlation Amplitude and the Energy-Time Uncertainty Relation