现代量子力学笔记(七): Shrödinger的画和Heisenberg是一样的(OVA2)

Jason Eu

Created: 2019/01/03

Modified: 2019/01/03

结果对比

Schrödinger picture Heisenberg picture
State ket Moving Stationary
Observable Stationary Moving
Base ket Stationary Moving oppositely

在Schrödinger picture中,算符对应的观测量是不随时间变化的,基矢也是不随时间变化的. 随时间变化的只有一定时刻下的态. 随时间变化的关系受含时Shrödinger方程约束: $$iħ\frac{∂}{∂t}|α,t_0;t⟩=H|α,t_0;t⟩,$$

在Heisenberg picture中,某一时刻的状态是不随时间变化的,变化的是算符和基矢. 观测量由算符描述,随时间的变化关系如下: $$\frac{dA^{(H)}}{dt}=\frac{1}{iħ}\left[A^{(H)},H \right],$$

同时基矢(Base ket)满足如下随时间变化的关系,称为 wrong-sign Shrödinger equation: $$iħ\frac{∂}{∂t}|a',t⟩_H=-H|a',t⟩_H.$$

以上关系的来源

unitary算符在为位移算符或时间演化算符时,会让一个体系的态发生变化. 观察$⟨β|X|α⟩$如何随着该算符变化可以得到: $$(⟨β|U^†)⋅X⋅(U|α⟩)=⟨β|⋅(U^†XU)⋅|α⟩.$$

上式等好左右两边分别是两种看待变换的方式,左边的unitary算符作用在ket上,使得态发生了变化. 右边的unitary算符作用在算符X上,而当前态本身没有发生变化.

第一种方式就是Shrödinger picture第二种是Heisenberg picture, 其中Heisenberg picture描述了 算符随时间的变化,这和经典力学中的变化描述是相同的.

Ehrenfest’s Theorem

$$m\frac{d^2}{dt^2}⟨\mathbf{x}⟩=\frac{d⟨\mathbf{p}⟩}{dt}=-⟨∇V(\mathbf{x})⟩.$$